12.2.1. Гистограммы MathCAD 12 руководство
Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины (а,b) разбивается на некоторое количество bin сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в Mathcad имеется несколько встроенных функций. Рассмотрим их, начиная с самой сложной по применению, чтобы лучше разобраться в возможностях каждой из функций.
Гистограммы с произвольными интервалами
- hist (intvls,x) — вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы:
- intvls — вектор, элементы которого задают сегменты построения гистограммы в порядке возрастания ai
- х — вектор случайных данных.
Если вектор intvls имеет bin элементов, то и результат hist имеет столько же элементов. Построение гистограммы иллюстрируется листингом 12.8 и рис. 12.6.
Листинг 12.8. Построение гистограммы
Для анализа взято N=1000 данных с нормальным законом распределения, созданных генератором случайных чисел (третья строка листинга). Далее определяются границы интервала (upper, lower), содержащего внутри себя все случайные значения, и осуществляется его разбиение на количество ( bin ) одинаковых сегментов, начальные точки которых записываются в вектор int (предпоследняя строка листинга).
В векторе int можно задать произвольные границы сегментов разбиения так, чтобы они имели разную ширину.
Рис. 12.6. Построение гистограммы (продолжение листинга 12.8)
Обратите внимание, что в последней строке листинга осуществлена нормировка значений гистограммы, с тем чтобы она правильно аппроксимировала плотность вероятности, также показанную на графике.
Гистограммы с равными интервалами
Если нет необходимости задавать сегменты гистограммы разной ширины, то удобнее воспользоваться упрощенным вариантом функции hist :
- hist (bin, х) — вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы:
- bin — количество сегментов построения гистограммы;
- х — вектор случайных данных.
Для того чтобы использовать этот вариант функции hist вместо предыдущего, достаточно заменить первый из ее аргументов в листинге 12.8 следующим образом:
Недостаток упрощенной формы функции hist в том, что по-прежнему необходимо дополнительно определять вектор сегментов построения гистограммы.
От этого недостатка свободна функция histogram :
- histogram (bin, х) — матрица гистограммы размера binx2, состоящая из столбца сегментов разбиения и столбца частоты попадания в них данных:
- bin — количество сегментов построения гистограммы;
- х — вектор случайных данных.
Примеры использования функции histogram приведены в листинге 12.9 и на рис. 12.7. Сравнение с предыдущим листингом подчеркивает простоту построения гистограммы этим способом (стоит отметить, что в листинге 12.9, в отличие от предыдущего, мы не нормировали г истограмму).
Листинг 12.9. Упрощенный вариант построения гистограммы
Рис. 12.7. График и матрица гистограммы (продолжение листинга 12.9)
Для того чтобы назначить двумерному графику тип гистограммы, в диалоговом окне Formatting Currently Selected Graph (Форматирование) установите на вкладке Traces (Графики) тип списка bar (Столбцы) или solidbar (Гистограмма). На рис. 12.6 и 12.7 применены установки второго типа: закрашенными столбиками ( solidbar ).
Построение гистограмм
Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины (а,b) разбивается на некоторое количество bin сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в Mathcad имеется несколько встроенных функций.
Гистограмма с произвольными сегментами разбиения
— hist(int,x) — вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы;
— int — вектор, элементы которого задают сегменты построения гистограммы в порядке возрастания a < inti < b;
— х — вектор случайных данных.
Если вектор int имеет bin элементов, то и результат функции hist() имеет столько же элементов. Построение гистограммы показано на рис. 9.12.
Рис. 9.12. Гистограмма нормального закона распределения вероятностей.
Гистограмма построена для N=1000 случайных чисел, записанных в виде вектора х. Найдены минимальное (lower) и максимальное (upper) значения случайных чисел и выполнено их округление до целых. Затем найденный размах разбит на bin интервалов, составлен вектор сегментов int и выполнен расчет гистограммы hist(). В векторе int можно задавать разную ширину сегментов.
Гистограмма с разбиением на равные сегменты
Если нет необходимости задавать сегменты гистограммы разной ширины, то удобнее воспользоваться упрощенным вариантом функции hist(). Для этой цели используется функция histogram():
— histogram(bin,х) — матрица гистограммы размера binx2, состоящая из столбца сегментов разбиения и столбца частоты попадания в них данных;
— bin — количество сегментов гистограммы;
— х — вектор случайных данных.
На рис. 9. 13 приведен пример использования функции histogram(). Ее достоинство – простота построения и отсутствие нормализации:
Рис. 9.13. Диаграмма и матрица гистограммы.
Приведем пример. Требуется определить числовой интервал (L,U), внутри которого будет лежать с вероятностью, равной 75% дисперсия нормальной случайной величины, исходя из объема выборки в N чисел. Эта задача решается в статистике с помощью χ2-распределения (рис. 9.14):
Рис. 9.14. χ2-распределение
Указанный интервал называется (1-α)% доверительным интервалом. При решении данной задачи для расчета выборочного стандартного отклонения используется функция Stdev(). В статистике часто встречаются выражения, которые более удобно записывать через функции в такой нормировке, именно для этого они и появились в Mathcad’e.
Расчетно-графическое задание 1
Цель работы:
— ознакомиться с характеристиками статистической совокупности данных;
— ознакомиться со встроенными функциями обработки статистической совокупности данных;
— изучить методику обработки статистической совокупности;
-получить некоторые характеристики статистической совокупности данных.
Задание. Создать статистическую совокупность, используя датчики случайных чисел из таблицы 9.1. Количество чисел статистической совокупностиmпринять самостоятельно. Определить центр группирования статистической совокупности (см. рис.9.1), величину рассеяния (см. рис. 9.2). Построить гистограмму с произвольными сегментами разбиения (см. рис.9.12) и гистограмму с разбиениями на равные сегменты (см. рис. 9.13).
Построение гистограммы с помощью пакета MathCad
Гистограмма — это приближение плотности вероятности некоторой случайной величины, построенное по выборке ее распределения.
При построении гистограммы область значений случайной величины (а,b) разбивается на некоторое количество h сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в Mathcad имеется несколько встроенных функций.
Рассмотрим гистограммы с произвольными интервалами и гистограммы с разными интервалами.
Построение гистограмм
Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины (а,b> разбивается на некоторое количество bin сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в Mathcad имеется несколько встроенных функций. Рассмотрим их, начиная с самой сложной по применению, чтобы лучше разобраться в возможностях каждой из функций.
Гистограмма с произвольными сегментами разбиения
- hist(intvis,x) — вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы;
- intvis — вектор, элементы которого задают сегменты построения гистограммы в порядке возрастания ai
- х — вектор случайных данных.
Если вектор intvis имеет bin элементов, то и результат hist имеет столько же элементов. Построение гистограммы иллюстрируется листингом 14.8 и рис. 14.9.
Листинг 14.8. Построение гистограммы
Для анализа взято N=1000 данных с нормальным законом распределения, созданных генератором случайных чисел (третья строка листинга). Далее определяются границы интервала (upper,lower), содержащего внутри себя все случайные значения, и осуществляется его разбиение на количество (bin) одинаковых сегментов, начальные точки которых записываются в вектор int (предпоследняя строка листинга).
В векторе int можно задать произвольные границы сегментов разбиения так, чтобы они имели разную ширину.
Рис. 14.9. Построение гистограммы (листинг 14.8)
Обратите внимание, что в последней строке листинга осуществлена нормировка значений гистограммы, с тем чтобы она правильно аппроксимировала плотность вероятности, также показанную на графике. Очень важно переопределение вектора int в самом верху рис. 14.9, которое необходимо для перехода от левой границы каждого элементарного сегмента к его центру.
Гистограмма с разбиением на равные сегменты
Если нет необходимости задавать сегменты гистограммы разной ширины, то удобнее воспользоваться упрощенным вариантом функции hist.
- hist (bin, х) — вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы;
- bin — количество сегментов построения гистограммы;
- х — вектор случайных данных.
Для того чтобы использовать этот вариант функции hist вместо предыдущего, достаточно заменить первый из ее аргументов в листинге 14.8 следующим образом:
Недостаток упрощенной формы функции hist в том, что по-прежнему необходимо дополнительно определять вектор сегментов построения гистограммы. От этого недостатка свободна появившаяся в Mathcad 2001 функция histogram.
- histogram (bin, х) — матрица гистограммы размера binx2, состоящая из столбца сегментов разбиения и столбца частоты попадания в них данных;
- bin — количество сегментов построения гистограммы;
- х — вектор случайных данных.
Примеры использования функции histogram приведены в листинге 14.9 и рис. 14.10. Сравнение с предыдущим листингом подчеркивает простоту построения гистограммы этим способом (стоит отметить, что в листинге 14.9, в отличие от предыдущего, мы не нормировали гистограмму).
Рис. 14.10. График и матрица гистограммы (листинг 14.9)
Создание графика гистограммы
Для того чтобы создать график в виде гистограммы:
- Постройте двумерный график, задайте переменные по осям и пределы оси х (в примере из листинга 14.9 это числа lower и upper).
- Войдите в диалоговое окно Formatting Currently Selected Graph (Форматирование) выбранного графика (например, двойным щелчком мыши) и перейдите на вкладку Traces (Графики).
Рис. 14.11. Установка типа графика для построения гистограммы
- Установите для серии данных гистограммы в поле Туре (Тип) элемент списка bar (столбцы) или solidbar (гистограмма) (рис. 14.11).
- Нажмите кнопку ОК.
На рис. 14.9 и 14.10 были применены установки графика bar (столбцы). В Mathcad 2001 появилась новая возможность построения гистограммы в более привычном виде — закрашенными столбиками (solidbar). Такой тип графика иллюстрируется рис. 14.11.
Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, «мысленный эксперимент» фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей «мысленных экспериментов» является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его «куклой» — фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, «мысленными экспериментами» привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие «фантики» от настоящих ценностей.Релятивисты и позитивисты утверждают, что «мысленный эксперимент» весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.
Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: «Если факт не соответствует теории — измените факт» (В другом варианте » — Факт не соответствует теории? — Тем хуже для факта»).
Максимально, на что может претендовать «мысленный эксперимент» — это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.
Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.
Понятие «мысленный эксперимент» придумано специально спекулянтами — релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим «честным словом». Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.