Как сделать апроксимацию в маткаде
Приведем два варианта решения задачи аппроксимации:
-
в первом примере каждый из перечисленных этапов реализован в виде отдельного блока с необходимыми комментариями;
Функция MNK, использованная во втором примере, получает через список параметров m – объем выборки; k – число факторов; z – матрицу значений факторов; y – вектор значений функции отклика. Результатом выполнения функции будет вектор коэффициентов регрессии – (k+1) элемент, так как исходное регрессионное уравнение предполагает наличие свободного члена.
Отметим, что рассмотренный алгоритм позволяет оценить коэффициенты уравнений при нескольких независимых переменных, т.е. является алгоритмом множественной линейной регрессии. Основная задача пользователя – правильно определить факторы и вычислить их значения для матрицы факторов.
Mathcad имеет ряд встроенных функций, реализующих алгоритмы аппроксимации для различных видов уравнений. Как правило, предполагается наличие одной независимой переменной.
Все функции, упоминаемые далее в этом разделе, описаны в приложении «Встроенные функции и ключевые слова» настоящего пособия.
2. Линейная регрессия общего вида аппроксимирует заданную совокупность точек функцией вида
Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций F1(x), F2(x), . Fn(x), причем сами эти функции (факторы) могут быть нелинейными, что расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции.
Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция
Она возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек, координаты которых хранятся в векторах VX и VY, оказывается минимальной. Вектор F должен содержать функции F1(x), F2(x), . Fn(x), записанные в символьном виде.
3. В Mathcad введена и функция для обеспечения полиномиальной регрессии при произвольной степени полинома
Она возвращает вектор VS, запрашиваемый функцией interp(VS, VX, VY.x), содержащий коэффициенты многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает «облако» точек с координатами, хранящимися в векторах VX и VY. Для вычисления коэффициентов полинома регрессии используется функция submatrix (см. пример).
На практике не рекомендуется делать степень аппроксимирующего полинома выше 4–6, поскольку погрешности реализации регрессии сильно возрастают. Функция regress создает единственный приближающий полином, коэффициенты которого вычисляются по всей совокупности заданных точек.
4. Многомерную регрессию также можно реализовать в Mathcad. Самый типичный случай ее использования – приближение поверхностей в трехмерном пространстве. Их можно описать, задав массив значений высот z, соответствующих двухмерному массиву Мху координат точек (х,у) на горизонтальной плоскости.
Новых функций для этого не задано. Используются уже описанные ранее функции, но в несколько иной форме, например
- regress (Mxy, Vz, n) – возвращает вектор, запрашиваемый функцией interp (VS. Mxy, Vz, V) для вычисления многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает точки множества Мху и Vz, Мху – матрица размера 2m, содержащая координаты х и у. Vz – m-мерный вектор, содержащий z-координаты, соответствующие m точкам, указанным в Мху.
- Interp(VS, Mxy, Vz, V) – возвращает значение z по заданным векторам VS (создается функцией regress) и Мху, Vz и V (вектор координат х и у заданной точки, для которой находится z).
5. Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора К коэффициентов произвольной функции F(x, К1, К2, . Кn), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения «облака» исходных точек.
Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция
genfit(VX, VY, VS, F)
Эта функция возвращает вектор К параметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией F(x, К1, К2, . Кn) исходных данных.
F должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектора К, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.
В примере далее приведен образец реализации нелинейной регрессии общего вида для уравнения ln p = A – B / (C + t).
При решении этой задачи возникают две проблемы. Во-первых, надо вычислить значения производных по переменным A, B, C. В документе это сделано с помощью символьных операций
Вторая проблема связана с необходимостью применения функции genfit в ее стандартном виде. Поэтому пришлось заменить искомые коэффициенты модели на элементы массива k
6. Перечень некоторых дополнительных функций для оценки коэффициентов аппроксимирующих уравнений разного вида (см. приложение)
- expfit(vx, vy, vg) – возвращает вектор, содержащий коэффициенты (a, b и с) аппроксимирующего выражения вида а·еxp(b·х)+с, график которого лучшим образом приближается к точкам, координаты которых хранятся в векторах vx и vy (вектор vg содержит первое приближение к решению);
- lgsfit(vx, vy, vg) – то же, но для выражения а/(1+b·е (–с·х) );
- logfit(vx, vy) – то же, но для выражения a·ln(x+b)+c (начального приближения не требуется);
- medfit(vx, vy) – то же, но для выражения а+bx (начального приближения не требуется);
- pwrfit(vx, vy, vg) – то же, но для выражения а·х b +с. Вектор vg содержит первое приближение к решению;
- sinfit(vx, vy, vg) – то же, но для выражения a·sin(x+b)+c.
2.Аппроксимация в среде MathCad.
2.1. Аппроксимация линейной функцией с использованием встроенных функций системы MathCad .
Пусть функция f(x) эадана таблицей значений < (xi ,yi ) , i=0,1,2. n >
Настройка системы Mathcad
Используем встроенные функции slope и intercept для определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация данных прямой линией).
Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept – точку пересечения графика с вертикальной осью.
c=0.407843
Определяем аппроксимирующую функцию:
Mathcad предлагает для этих же целей также использовать функцию line
Вычислим стандартное отклонение.
Графики аппроксимирующей прямой и табличных данных
2.2.Аппроксимация полиномами.
Теперь попытаемся подобрать полиномы второй и третьей степени, в качестве аппроксимирующей функции.
Для этих целей служат встроенные функции regress и interp.
Функция regress (Mx,My,n) является вспомогательной, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp , где
— Mx,My — данные аппроксимации ;
— n – степень аппроксимирующего полинома (Очевидно, что если в качестве аппроксимирующей функции брать полином степени на единицу меньше числа точек, то задача сведется к задаче глобальной интерполяции и полученный полином будет точно проходить через все заданные узлы.).
Функция interp(vs , Mx ,My , x) возвращает значение полинома в точке x , где
— vs = regress (Mx,My,n) — вектор, который содержит, в том числе, и коэффициенты полинома ;
— x – значение аргумента , для которого необходимо вычислить значение
Вводим степени полиномов :
Вычислим коэффициенты аппроксимирующих полиномов
Определив новые функции f2, f3, мы получили возможность находить значение полинома в любой заданной точке.
Коэффициенты аппроксимирующих полиномов получим из vs2 и vs3 с помощью встроенной функции submatrix :
Вычислим стандартные отклонения
Стандартные отклонения почти не отличают друг от друга, коэффициент при третьей степени z невелик, поэтому дальнейшее увеличение степени полинома нецелесообразно и достаточно ограничиться только второй степенью.
К сожалению, функция regress имеется далеко не во всех версиях Matcad‘а.
Однако, провести полиномиальную регрессию можно и без использования этой функции.
Для этого нужно определить коэффициенты нормальной системы и решить полученную систему уравнений, например, матричным методом.
Теперь попытаемся аппроксимировать экспериментальные данные полиномами степени m и m1, не прибегая к помощи встроенной функции regress .
Вычисляем элементы матрицы коэффициентов нормальной системы
и столбец свободных членов
Находим коэффициенты полинома, решая систему матричным методом,
Определяем аппроксимирующие функции
Коэффициенты полиномов следующие:
Вычислим стандартное отклонение
Графики аппроксимирующего полинома функции и данных аппроксимации :
Как сделать аппроксимацию по заданным точкам
Есть точки по которым нужно построить график. График с точками прикрепляю в скриншоте, график который нужно получить, как пример, в фото.
Нужно чтобы была прямая линия до b=0.528 при m=3*10^-4, а потом убывала по параболе до b=1 и m=0.
Файл маткада также прикрепляю.
Окажите помощь пожалуйста.
Спасибо!
| MB.rar (14.2 Кб, 9 просмотров) |
Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Как сделать движение по заданным точкам из массива?
Сделал небольшой код, хочу, чтоб персонаж двигался из точки в точку. Столкнулся с проблемой, если у.
Как сделать экспоненциальную аппроксимацию?
Помогите пожалуйста в решение экспоненциальной аппроксимации, сделал линейную и квадратичную x=;.
Как сделать аппроксимацию в этом случаи
Доброго времени суток! У меня есть код, который позволяет мне вычислить зависимость T от значение.
Как построить сплайн по заданным точкам
Всем добрый день. У меня возникла такая проблема. Имеется одномерный массив состоящий из чисел.
Как нарисовать на Canvas четырехугольник по заданным точкам?
если у мне имеется 4 точки как рисовать четирыехуголник
Апроксимация функции в MathCAD
Аппроксимация функций с помощью MathCAD К ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ 1. Линейная регрессия Линейная регрессия в системе Mathcad выполняется по векторам аргумента Х и от- счетов Y функциями: intercept(X,Y) – вычисляет параметр а1 , смещение линии регрессии по вертикали; slope(X,Y) – вычисляет параметр a2 , угловой коэффициент линии регрессии. Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = a1+a2*x . Функция corr(Y,y(x)) вычисляет коэффициент корреляции Пирсона . Чем он ближе к 1 , тем точнее обрабатываемые данные соответствуют линейной зависимости. 2. Полиномиальная регрессия Одномерная полиномиальная регрессия с произвольной степенью n полинома с произвольными координатами отсчетов в Mathcad выполняется функциями: regress(X,Y,n) – вычисляет вектор S , в составе которого находятся коэффици- енты ai полинома n -й степени; Значения коэффициентов ai могут быть извлечены из вектора S функцией submatrix(S, 3, length(S)-1, 0, 0) . Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = a1+a2*x+a3*x 2 . 3. Нелинейная регрессия Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций нелиней- ной регрессии, в которых параметры функций подбираются программой Mathcad. К их числу относится функция expfit(X,Y,S) , которая возвращает вектор, со- держащий коэффициенты a1 , a2 и a3 экспоненциальной функции y(x) = a1·exp(a2·x) + a3 . В вектор S вводятся начальные значения коэффициентов a1 , a2 и a3 первого приближения.
Пример расчетов в среде MathCAD Исходные данные:
| 0 | 16 | |||||
| 0.4 | 20 | |||||
| 0.7 | 25.5 | |||||
| 1 | 34 | |||||
| 1.5 | 40.7 | |||||
| m | ||||||
| 49 | x m | 0 | y m | 1 | ||
| 1.9 | ||||||
| 2.5 | 60 | |||||
| 2.9 | 69.6 | |||||
| 3.6 | 89 | |||||
| 4.3 | 98.3 | |||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 16 | |||
| 1 | 0.4 | 1 | 20 | |||
| 2 | 0.7 | 2 | 25.5 | |||
| x | 3 | 1 | y | 3 | 34 | |
| 4 | 1.5 | 4 | 40.7 | |||
| 5 | 1.9 | 5 | 49 | |||
| 6 | 2.5 | 6 | 60 | |||
| 7 | 2.9 | 7 | 69.6 | |||
| 8 | 3.6 | 8 | 89 | |||
| 9 | 4.3 | 9 | 98.3 | |||
Линейная регрессия:
| a1 | intercept(x y) | |
| a1 | 12.665 | |
| a2 | slope(x y) | |
| a2 | 19.971 | |
| f(x) a1 | a2 x | corr(y f(x)) 0.997 |
100 y f(x) 50 0
| Полиномиальная регрессия (n=2): | ||||
| s regress(x y 2) | ||||
| coeff submatrix(s 3 length(s) | 1 0 0) | |||
| A coeff | ||||
| a1 A 0 | a1 14.494 | |||
| a2 A 1 | a2 16.96 | |||
| a3 A 2 | a3 0.714 | |||
| f(x) a1 | a2 x a3 x 2 | corr(y f(x)) 0.998 | ||
| 150 | ||||
| y | 100 | |||
| f(x) | 50 | |||
| 0 | 2 | 4 | 6 | |
| 0 | ||||
| x | ||||
| Экспоненциальная регрессия (n=2): | ||||||
| 1 | ||||||
| s 1 | ||||||
| 1 | ||||||
| 169.694 | ||||||
| A expfit(x y s) | A | 0.095 | ||||
| 154.614 | ||||||
| a1 A 0 | a1 169.694 | |||||
| a2 A 1 | a2 0.095 | |||||
| a3 A 2 | a3 154.614 | |||||
| f(x) a1 e a2 x a3 | corr(y f(x)) 0.997 | |||||
| 150 | ||||||
| y | 100 | |||||
| f(x) | ||||||
| 50 | ||||||
| 0 | 2 | 4 | 6 | |||
| 0 | ||||||
| x | ||||||
Вывод: сравнивая результаты вычислений, можно сделать вывод, что самый высокий коэффициент детерминированности (корреляции) – в случае полиноми- альной регрессии второй степени ( 0.998 ). Следовательно, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описы- вает экспериментальные данные.
14.03.2016 767.9 Кб 294 Антонов В.В. Поиски и разведка подземных вод Уч пос 2006.pdf
22.11.2018 200.19 Кб 6 антропогенные нарушения водных объектов.doc