Кусочные функции. Как построить график кусочной функции
Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.
То есть, графики кусочных функций выглядят как «франкенштейны» — разные части берут у разных функций и «слепляют» вместе.
Как построить графики кусочных функций?
Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном для него участке, не залезая на соседние. При этом неважно каким именно способом строятся эти кусочки – можно с помощью элементарных преобразований , можно по точкам .
Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin-\frac, & x≤-1\\x^2-4x,& x>-1\end\)
1) Построим первую функцию на области \(x∈(-∞;-1]\). Для этого найдем несколько точек из этого участка, одна из которых — граничная точка с \(x=-1\).
Отметим их на координатной плоскости:
\(y=-\) \(\frac\) — гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку \((-1;5)\).
2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.
\(y=x^2-4x\) – квадратичная функция , график этой функции — парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:
Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.
Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.
Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.
Готово. График кусочной функции построен.
Как не должна выглядеть кусочная функция:
Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.
Кусочная функция с разрывом
В рассмотренном выше примере функция не имела разрыва в граничной точке (то есть, значения при \(x=-1\) были одинаковы и слева, и справа). Но так бывает не всегда.
Например, у функции \(y=\beginx+1,& при & x<0\\-x^2+2x+3, & при & x≥0\end\) есть разрыв в точке \(0\), потому что значение кусочков этой функции в граничной точке \(0\) не совпадает:
при \(x=0\) в первом кусочке, \(y(0)=0+1=1\);
при \(x=0\) во втором кусочке \(y(0)=-0^2+2\cdot 0+3=3\).
На графике это выглядит так:
Заметьте, что \(x=0\) включен во вторую часть функции (ведь ее область «икс больше или равен нулю), но не включен в первую (так как там «строго меньше нуля»). Поэтому граничную точку параболы мы закрашиваем, а линейной — выкалываем.
Кусочно-линейная функция
Ситуация, когда движение или другое явление можно описать одной линейной функцией, определенной на интервале $-\infty \lt t \lt +\infty$, в действительности невозможна. Хотя бы потому, что возраст Вселенной велик, но не бесконечен.
На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?
Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.
Изобразим зависимость s(t) графически:
Первый отрезок AB легко записать: $ s_1 (t) = 5t,0 \le t \lt 2$
С отрезком BC тоже всё ясно: $s_2 (t) = 10,2 \le t \lt 3$
Осталось найти формулу для отрезка CD. Для него известен угловой коэффициент, равный скорости k = -4; знак «минус» оттого, что турист возвращается обратно. Формула имеет вид $s_3 (t) = -4t+b$. Также, нам известны координаты C(3;10).
Подставляем: $10 = -4 \cdot 3+b \Rightarrow b =22$. Осталось рассчитать момент возвращения:
$$0 = -4t_+22 \Rightarrow t_ = 22:4 = 5,5$$ (ч)
Значит, формула движения на отрезке $CD:s_3 (t) = -4t+22,3 \le t \le 5,5.$
$$s(t) = <\left\< \begin 5t,0 \le t \lt 2 \\ 10,2 \le t \lt 3 \\ -4t+22,3 \le t \le 5,5 \end \right.> $$
Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:
$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$
Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.
$$x f(x) = <\left\< \begin k_1 x+b_1, x_1 \le x \lt x_2 \\ k_2 x+b_2,x_2 \le x \lt x_3 \\…\\ k_n x+b_n,x_n \le x \lt x_ \end \right.>$$
называется кусочно-линейной .
При этом для функции на краях интервалов выполняются условия согласования:
Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия
Знак модуля в линейных функциях
$$ |x| = \left[ \begin x, x\ge0 \\ -x, x \lt 0\end \right.$$
Если в формуле для линейной функции содержится знак модуля, то после его раскрытия получается кусочно-линейная функция.
Мы заменили квадратную скобку со значением «или» на фигурную скобку со значением «и», поскольку именно смысл объединения — «и того, и другого» — вкладывается в определение кусочно-линейной функции .
Примеры
Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:
б) $ y = 2|x|-1 = <\left\< \begin -2x-1, x \lt0 \\ 2x-1, x \ge 0 \end \right.>$
Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:
Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.
Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.
Шаг 1. Строим y = 2x-1
Шаг 2. Строим y = 2|x|-1 по правилу: |x| отражает часть графика для положительных $x \ge 0$ влево, зеркально относительно оси Y
Шаг 3. Строим y = |(2|x|-1)| по правилу: общий модуль отражает участок графика с отрицательными $y \lt 0$ вверх, зеркально относительно оси X
Методическое пособие «Построение кусочно-заданных функций»
Такие функции назовём кусочными. Участки числовой прямой, которые различаются формулами задания, назовём составляющими область определения, а их объединение, является областью определения кусочной функции. Точки, которые делят область определения на составляющие, называются граничными точками. Выражения, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называется входящими функциями.
Наличие таких свойств как чётность, нечётность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, ограниченность у кусочных функций устанавливается согласно общепринятым определениям, с учётом особенностей составляющих области определения и входящих функций.
Для того чтобы вычислить значение кусочной функции в заданной точке, необходимо, во-первых, определить, какой составляющей области определения принадлежит эта точка, а, во-вторых, найти значение входящей функции на этой составляющей.
1)Функция убывает на промежутке [-2; +∞).
2)Функция возрастает на промежутках (-∞; -2] и [0; 2].
3) f(x)≥0, если х=0 и |х|≥ 3⅓;
5)Прямая y=m имеет с графиком две общие точки при m=3 и m=-1 ;
6)Прямая y=m имеет с графиком одну общую точку при m=-2 и m>1.
XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2019
В жизни мы постоянно сталкиваемся с изменяющимися величинами. Наблюдения за процессами и явлениями помогают выявить их взаимосвязи. При подробном изучении абстрактных переменных величин мы замечаем общие свойства и закономерности, которые складываются в функциональные зависимости.
Функция будучи одним из основных математических и общенаучных понятий имеет большое количество определений. Одно из основополагающих определений функции дано Н. Лобачевским: «Переменная величина y называется функцией переменной величины (в некотором промежутке ), если каждому значению (из ) соответствует некоторое определенное значение y » [1].
В современных источниках функция трактуется как, соответствие между переменным величинами , в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины ( аргумента или независимой переменной ) соответствует определенное значение другой величины y ( зависимой переменной)» [ 24 ].
С помощью функций возможно описать природные процессы, которые принято разделять на непрерывные и разрывные. Существование разрывных процессов объясняет появление специальных способов и моделей для их описания, называемых в математике кусочно-заданными функциональными зависимости. Если функция на разных промежутках области определения задаётся разными формулами, то говорят о кусочно-заданной функции [22].
Актуальность исследования заключается в том, что информация о кусочно-заданных функциях разрознена, недостаточно систематизирована, а применяемые свойства данных функций встречаются эпизодически в различных разделах школьной и высшей математики.
Впервые ученики формируют представление о кусочно-заданных функциях при знакомстве с модулем числа в 7 классе. Изучение кусочно-заданной функции представлено в учебниках математики [18], алгебре и началах анализа [16 ]. Кусочно-заданные функции встречаются в заданиях государственной итоговой аттестации.
В высшей математике кусочно-заданные функции активно используются в математическом анализе, в элементарной математике, в теории вероятностей, в математической статистике, в теории рядов [10].
Понятие «функция» прошло долгий путь развития, прежде чем появились современные определения. Идея функциональной зависимости восходит к древности, встречаясь в формулах нахождения площади и объема фигур, в математических выражениях, в правилах действий над числами. Вавилонские математики в 2000 г. до н. э. имели представление о функциях, используя таблицы квадратов, кубок, квадратных и кубических корней, обратных чисел для вычислений.
Сознательное понимание понятия функция возникает при изучении переменных. В аналитической геометрии Р. Декарта и П. Ферма функцию определяет уравнение, связывающее x и y . Как математический термин функция появляется с 1673 г. в работах Г. Лейбница. Функциями кривой он называл абсциссы, ординаты, хорды, другие отрезки, связанные с рассматриваемой линией, но «функция» не рассматривалась как величина, зависящая от некоторой другой переменной. В 1718 г. И. Бернулли называет функцией «переменную величину, заданную аналитическим выражением, составленным из переменной х и постоянных величин». Г. Лопиталем в 1696 г. были определены «постоянные и переменные количества». И. Ньютон в 1676 г. употребляет для функции понятие «ордината». Л. Эйлер дал общее определение функции как произвольной зависимости одной величины от другой и в 1748 г. распространил определение на величины зависящие от нескольких переменных. С отделением геометрии от анализа и вкладом П. Дирехле, Н. Лобачевского, Ф. Фреге, Ю. Дедекинда, Д. Пеано, Ж. Лангранжа, Л. Маскерони, А. Клеро сложилось современное понимание «функции» [2 , 205с. ].
Кусочно-заданные функции встречаются работах известных математиков. Знания о данных функциях расширяются с изучением отдельных математических терминов и наук.
Английский математик, физик О. Хевисайд в 1893 – 1898 годах осуществлял работу над вторым томом «Электромагнитной теории». В своих вычислениях он использует кусочно-постоянную функцию, которая равна нулю для отрицательных значений и единицы – для положительных и не определена в нуле. Позднее данную функцию назовут импульсной функцией Хевисайда или единичной ступенчатой функцией [ 15 ]. Через 30 лет данную обобщенную функцию с математическими доказательствами заново вводит английский физик П. Дирак и она получает новое название – дельта-функция П. Дирак. Функция Хевисайда является первообразной для дельта-функции Дирака [ 15 ].
Знакопеременную функцию ввёл немецкий математик Л. Кронекер в 1878 году. Название данной функции происходит от латинского слова « signum » – знак [21]. Непрерывная кусочно-линейная функция комплексного переменного появляется с изучением модуля французскими математиками О. Коши в 1831 г. и Ж. Аграном 1814 году.
Функция Дирехле, названа в честь немецкого математика И. Дирихле. Он внёс существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел. Функция Дирихле — функция, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом [21].
В современном мире мы не обходимся без кусочно-заданных функций, активно применяющихся в науках, сферах жизни человека. В социологии производятся анализы данных, которые зависят от каких-либо изменяющихся условий. В демографии осуществляется контроль за изменением состава населения ввиду ряда обстоятельств. В геодезии считывается параметр вращения планеты и вычисляется его зависимость от времени. В медицине осуществляется контроль за состоянием больного при помощи электрокардиографа , который ведет запись сердечных сокращений человека, зависящих от времени, в компьютерной графике. Представленные зависимости являются функциями и вносят неоценимый вклад в изучение мира.
Объект исследования – функции.
Предмет исследования – кусочно-заданные функции.
Целью нашего исследования является систематизация теоретического материал по заданной теме и его применение к решению задач элементарной математике.
Результаты исследования были представлены на V внутривузовской студенческой научно-практической конференции «Молодежь в мире науки» Сургутского государственного педагогического университета (ноябрь, 2017 г., Сургут) и XXII студенческой научно-практической конференции «Студенчество в научном поиске» (апрель, 2018 г., Сургут), на которой доклад занял II место. Кроме того, в сборнике опубликована статья «Кусочно-заданные функции», в которой были использованы результаты исследования.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка источников и приложения. Список использованной литературы включает 24 наименования.
Глава 1. Теоретическая основа кусочно-заданных функций
1.1. Общие сведения о функциях
Одним из основных понятий в математике является функция, которая представлена рядом различных определений (табл. 1).
В таблице 2 рассмотрены способы задания функций.
Определение 1. Задать функцию – это значит указать область её определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.
Определение 2. Графиком (в системе декартовых прямоугольных координат) называется множество всех точек, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции.
Рассмотрим виды функций.
Определение 3. Алгебраическая функция – функция , связанная с независимым переменным алгебраическим уравнением .
Определение 4. Рациональными называются такие функции, значения которых можно найти, не совершая над заданным значением независимой переменной и числами, которые предполагаются постоянными, никаких операций, кроме четырех действий арифметики (сложение, вычитание, умножение, деление).
Определение 5. Иррациональными называются функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).
Определение 6. Линейной функцией называется всякая функция вида
где и – действительные числа.
Определение 7. Логарифмической функцией называется функция вида
Определение 8. Функция называется трансцендентной, если она не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению , где обозначает алгебраический многочлен (целую рациональную функцию) относительно переменных и .
Определение 9. Показательной (или экспоненциальной) функцией называют всякую функцию вида
Определение 10. Степенной функцией называют всякую функцию вида
Определение 11. Тригонометрическая функция – функция, связывающая стороны треугольника с его углами.
Определение 12. Обратной функцией называется функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Определение 13. Прямой пропорциональность называется функция, заданная формулой , где . Число – коэффициент пропорциональности.
Определение 14. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и предел функции совпадает со значением функции, т.е.
Определение 15. Функцию мы называет гладкой на отрезке [ a , b ], если она имеет непрерывную производную на этом отрезке [17, с. 176].
Определение 16. Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой
Определение 17. Если функция определена в некоторой окрестности точки , но не является непрерывной в этой точке, то называют разрывной в точке .
Рассмотрим основные свойства функций (Табл. 3).
Определение 18. Число b называется предельным значением функции
= в точке (или пределом функции при x → ), если для любой сходящейся к последовательности , , . , , … значений аргумента , элементы которой отличны от ( ), соответствующая последовательность , …, … значений функции сходится к b .
Определение 19. Пусть – предельная точка , тогда,, согласно определению Коши.
Определение 20.Число b называется правым (левым) предельным значением функции = в точке , если для любой сходящейся к a последовательности , , . , , … значений аргумента х, элементы которого больше (меньше) a , соответствующая последовательность , … , … значений функции сходится к b .
Для правого предельного значения функции используется обозначение
Для левого предельного значения функции употребляется обозначение
Определение 21.Число называется предельным значением функции при ( или пределом функции при ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Для обозначенияпредельного значения функции при используется следующая символика:
Определение 22. Функция = называется бесконечно малой в точке
(при → a ), если .
Определение 23. Функция = называется бесконечно большой в точке справа (слева), если для любой сходящейся к последовательности , , . , , … значений аргумента , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность , … , … значений функции является бесконечно большой последовательностью определенного знака.
Определение 24. Точка , принадлежащая области определения функции , называется точкой разрыва функции , если функция не является непрерывной в этой точке [11].
Определение 25. Точка называется точкой разрыва I рода если функция имеет в этой точке конечные пределы слева и справа. Если при этом эти пределы равны, то точка называется точкой устранимого разрыва (рис. 1), в противном случае – точкой скачка (рис. 2) [11].
Определение 26. Точка называется точкой разрыва II (рис. 3) рода если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен или не существует [11].
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
1.2. Понятия и свойства кусочно-заданных функций
Рассмотрим определения кусочно-заданной (или кусочной) функции, встречающиеся в различных источниках (табл. 4).
На основе известных способов задания функций, рассмотрим, способы применимые для кусочной функции. Сделаем вывод, что для задания кусочной функции наиболее удобен и популярен аналитический способ. Графический способ позволяет выделять и анализировать поведение функции на разных участках, а табличный способ становится менее эффективным для кусочной функций ввиду её свойств и особенностей (табл. 5).
В схеме 2 представлены классификация основных видов кусочно-заданных функций. Рассмотрим их определения.
Определение 27. Если область определения функции может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков, объединение которых дает всю область определения, и на каждом из этих промежутков функция линейна, то такая функция называется кусочно-линейной [18].
Определение 28. Функция, заданная формулой
где , , …, , – произвольные линейные функции называется кусочно-линейной.
Определение 29.Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [ a , b ], если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b [23, с. 91].
Определение 30. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке [23, с. 91].
Определение 31. Функция называется кусочно-непрерывной насегменте , если эта функция определена всюду на сегменте непрерывна во всех внутренних точках этого сегмента, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет правый предел в точке и левый предел в точке [9, с. 166].
Определение 32. Функция называется кусочно-непрерывной на интервале (или на бесконечной прямой), если ( x ) кусочно-непрерывна на любом принадлежащем этому интервалу (или бесконечной прямой) сегменте [9, с. 166].
Определение 33. Назовем функцию кусочно-гладкой на отрезке , если она кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную на этом отрезке. Таким образом, отрезок можно разбить точками
так, что непрерывна вместе со своей производной на каждом из интервалов и, кроме того, существуют односторонние конечные пределы как , так иʹ в концевых точках этих интервалов[17].
Определение 8. Непрерывная кусочно-гладкая на отрезке функция – частный случай кусочно-гладкой функции . Для которой характерны следующие свойства:
отрезке такое, что является гладкой функцией на каждом из частных отрезков .
Пример.
Функция не является гладкой на , потому что в точке она не имеет производной. С другой стороны – непрерывная кусочно-гладкая на функция, потому что она непрерывна на и имеет непрерывную производную на интервале , , которая к тому же имеет соответствующие пределы на концах этих интервалов.
Мы считаем, что функция в точке не определена (рис. 4) [17, с.176].
Для последующего решения задач, содержащих кусочные функции, изучим свойства данных функций, представленных различными теоремами.
Теорема 1. Если функция определена на сегменте и является монотонной на этом сегменте, то она может иметь на этом сегменте только точки разрыва первого рода, причем множество всех её точек разрыва не более чем счетно [9, с. 166].
Доказательство. В силу леммы о том, что монотонная функция имеет конечный правый и левый пределы в любой внутренней точке сегмента и, кроме того, конечный правый пределе в точке и конечный левый предел в точке . Отсюда следует, что точками разрыва монотонной функции могут быть только точки разрыва первого рода. [9, с. 166]
Теорема 2.Пусть ограничена на промежутке . Если ∀ ε > 0 существует конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва и имеющих сумму длин, меньшую ε, то интегрируема на промежутке [a, b].
Следствие. Кусочно-непрерывная функция (т. е. имеющая на промежутке конечное число точек разрыва I рода) интегрируема на этом промежутке.
Замечание. Если выполнены условия теоремы 2, то значение интеграла.
Теорема 3. Кусочно непрерывная на сегменте функция имеет первообразную на этом сегменте в смысле расширенного определения. Одной из первообразных является функция
Теорема 4. Для кусочно непрерывной функции справедлива формула Ньютона-Лейбница
где – первообразная функции на [a, b] в смысле расширенного определения.
Пример.
Для наглядного изучения кусочно-заданных функций рассмотрим примеры известных функций (табл. 6).
Таким образом, мы осуществили выборку теоретического материала по темам: функции, кусочно-заданные функции. Мы осуществили систематизацию материала по таким категориям, как: виды, свойства и способы задания функций.
Рассмотрена классификация кусочных функций, встречающаяся в литературе математического анализа:
Нами выявлены наиболее удобные способы задания кусочных функций:
Также, в данной главе рассмотрены популярные кусочно-гладкие функции.
Глава 2. Решение задач с использованием кусочно-заданных функций
На основе изученного теоретического материала нами рассмотрены и систематизированы задачи с использованием кусочно-заданных функций.
Классификация задач по теме кусочно-заданные функции:
Определение вида функции;
Исследование свойств функции;
Решение уравнений и неравенств;
Дифференцирование и интегрирование кусочных функций;
Задачи с параметром;
Рассмотрим задачи, на основе получившейся классификации и выделим закономерности их решения.
2.1. Задачи на определение вида функции
Задача 1.
Условие. Задана функция , а также два значения аргумента и . Определить вид функции (непрерывная или разрывная), если функция имеет разрыв найти ее пределы при приближении к точке разрыва справа и слева и определить тип точки разрыва [12].
Точка Воспользуемся определением функции непрерывной в точке.
В данной точке разрыва нет.
Точка Знаменатель обращается в нуль, значит, это точка разрыва.
Вычислим пределы справа и слева:
Один из пределов равен , значит является точной разрыва второго рода.
Ответ:функция является разрывной для аргумента
Задача 2.
Условие. Каким числом можно доопределить функцию
при , чтобы она стала непрерывной в этой точке [3]?
Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой.
Найдем предел данной функции в точке :
Следовательно, если принять , функция станет непрерывной в точке .
2.2. Задачи на исследование свойств функции
Задача 3.
Условие. Функция задана различными аналитическими выражениями в различных областях изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют [12] .
Функция непрерывна на каждом из интервалов
Исследуем на непрерывность точки
Найдем пределы слева и справа:
Пределы слева и справа конечны, но не равны, поэтому в точке функция терпит разрыв первого рода («скачок»).
Найдем пределы слева и справа:
Пределы слева и справа конечны и равны, поэтому функция непрерывна в
Ответ: является точкой разрыва первого рода.
2.3. Решение уравнений и неравенств
Задача 4.
Условие.Решите неравенство: [19].
Запишем неравенство в виде:
Заметим, что левая часть представляет из себя кусочно-линейную функцию, которая возрастает при и убывает при .
Это означает, что в точке она достигает минимума, равного 5. Таким образом правая часть . Тогда неравенство принимает вид:
2.4. Задачи с параметром
Задача 5.
Условие. Найдите все значения при каждом из которых график функции
пересекает ось абсцисс более чем в двух точках [19].
Рассмотрим вспомогательную функцию
График функции пересекает ось абсцисс в трёх или более точках (Рис. 5), если уравнение имеет более двух различных корней.
График функции состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке 5 прослеживается, что уравнение имеет более двух корней только если
Соответствующие значения функции равны:
Задача 6.
Условие. Постройте график функции +15 и найдите значения , при которых прямая имеет с ним ровно три общие точки [20].
Воспользовавшись определением модуля, построим график функции (рис. 6)
Прямая имеет с построенным графиком ровно три общие точки при и .
Задача 7.
Условие. Найти все значения a, при каждом из которых функция
имеет хотя бы одну точку максимума [19].
Заметим, что данная функция является кусочно-линейной.
График функции при представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины При график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины
Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях параметра, как показано на рисунке 3.
Ясно, функция достигает максимума в точке , причём тогда и только тогда, когда
Таким образом, или .
Задача 8.
Условие. Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1 [19].
Воспользовавшись определением модуля получим
Найдя множество положительности подмодульного выражения, запишем
Получаем новое условие. При каких значениях a наименьшее значение функции
График функции на промежутках и [ представляет собой фрагменты параболы, ветви которой направлены вверх, а значит, она принимает наименьшее значения на этом множестве либо в вер- шине, если таковая лежит в множестве и [ , либо в точках 1 или 3.
График второго фрагмента, задающего функцию , есть часть параболы, ветви которой направлены вниз, и она может давать наименьшие значения только на концах промежутка, т. е. в точках 1 или 3. А в этих точках она совпадает с первой задающей квадратичной функцией (рис. 1, на котором функции изображены условно), а значит, часть функции на промежутке от 1 до 3 можно не рассматривать.
Изучим функции на множестве
на предмет выяснения, когда ее наименьшее значение на этом множестве положительно. Наименьшим является значение, соответствующее вершине параболы, если таковая оказалась в рассматриваемом множестве, и значение на каком-то из концов рассматриваемого множества, если вершина из него ушла. Стало быть, надо рассмотреть три возможности для расположения абсциссы вершины и сделать соответствующие выводы.
Пусть абсцисса вершины лежит левее единицы либо совпадает с ней, т. е. , или, что то же, . Тогда положительность ординаты вершины графика функции равносильна тому, что ее дискриминант отрицателен, т. е. .
Это произойдет при , так что с учетом рассматриваемых значений , а именно , получаем, что при этих наименьшее значение функции положительно, если .
Пусть абсцисса вершины правее чем три или совпадает с тройкой, т. е. ⇔ . Однако это множество не имеет пересечений с множеством тех , при которых дискриминант отрицателен, так что в этом случае на рассматриваемом множестве всегда есть отрицательные значения и тем самым этот случай не вносит никакой информации в окончательный результат.
Наконец, пусть . Это условие означает, что абсциссы вершин парабол h(x) при таких a расположены между 1 и 3. Тогда наименьшее значение функции на рассматриваемом множестве достигается либо в точке 1, либо в точке 3. Найдем значения и и потребуем их положительности. Имеем
и с учетом того, что рассматриваются только получаем, что среди таких a функция g(x) положительна при
Задача 9.
Условие. При каком значении числа функция
будет непрерывна [12]?
Областью определения функции является всё множество действительных чисел, причем по обе стороны точки функция является элементарной, то есть непрерывной. Для обеспечения непрерывности в точке поставим условие ;
Решив уравнение, получим ;
2.5. Задачи на дифференцирование и интегрирование
Задача 10.
Условие. Будет ли дифференцируема функция
По условию, очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке . Выясним, будет ли она дифференцируема в данной точке.
Последовательность действий для решения данной задачи такова:
1) Вычислить левостороннюю производную в данной точке: .
2) Вычислить правостороннюю производную в данной точке: .
3) Если односторонние производные совпадают: , то в точке существует общая производная, то есть функция дифференцируема в данной точке и геометрически здесь существует общая касательная. Если же получены два разных значения: , то функция не дифференцируема в точке.
1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки расположена парабола
, поэтому приращение функции равно
.Соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:
2) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:
Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:
3) Односторонние производные различны: ,
Ответ:функция не дифференцируема в точке .
Нами проанализирован способ построения графика кусочно-линейной функции. Данная последовательность действий встречается в учебнике по математике для седьмого класса [18, с. 216]:
Выделить непересекающиеся числовые промежутки, составляющие всю область определения функции, на каждом из которых функция является линейной.
Для каждого числового промежутка выбрать два значения х, принадлежащих ему.
Вычислить значения y , соответствующие выбранным значения x .
Записать выбранные значения х и вычисленные значения у как упорядоченные – координаты точек, принадлежащих графику у = ( x ).
Построить на координатной плоскости Oxy полученные точки.
Для каждого числового промежутка провести через построенные точки, соответствующую часть прямой – график у = ( x ) на этом промежутке.
Необходимой для решения задач является последовательность действий, направленная на вычисление значения кусочно-заданной функции в точке:
На основе вышеизложенного нами составлена общая последовательность действий для решения задач, в которых рассматриваются кусочные функции:
Проанализировать аналитическую запись кусочно-заданной функции (при необходимости представить аналитическую запись в более удобной виде);
Разбить числовую прямую на участки при помощи точек смены формул;
Построить графики подфункций на соответствующих участках числовой прямой;
Проверить на графике принадлежность граничных точек каждой подфункции.
В данной главе составлена классификация задач по уровню сложности и по объему владения необходимыми для их решения математическими знаниями. Для решения рассмотренных задач необходимо знать свойства кусочных функций, их виды, применять классификацию точек разрыва, уметь строить график кусочно-заданной функции, определять разрывность функции.
Таким образом, основными закономерностями решения задач по данной теме можно считать:
при проверке наличия разрывов кусочно-заданной функции использовать понятие предельного значения функции в точке;
при решении уравнений и неравенств содержащих подмодульное выражение использовать свойства кусочно-заданной функции (метод с использованием кусочно-заданной функции).
Таким образом, мы систематизировали теоретический материал по теме кусочно-заданные функции. Изучили историю и отрасли, в которых применяются данных функций, проанализировали способы задания кусочных функций. Осуществили отбор задач по теме исследования и выявили закономерности, последовательности действий для их решения.
В данной работе изложены вопросы, касающиеся понятия кусочно-заданной функции, свойств функций, видов функций, предельного значения функций.
Классифицированы виды кусочно-заданных функций:
Выделена типология задач, содержащих кусочно-заданную функцию (или задач, решаемых при помощи свойст данной функции):
определение вида функции;
исследование свойств функции;
решение уравнений и неравенств;
дифференцирование и интегрирование кусочных функций;
задачи с параметром;
Приведённая типология задач, а также описанные приёмы и методы могут быть использованы в разработке методических рекомендаций к проведению факультативных занятий по алгебре в курсе средней общеобразовательной школы, а также на уроках в школах и классах с углублённым изучением математики.
Список использованной литературы
Александров П. С., Энциклопедия элементарной математики. / Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. (ред.) /Книги 1–5. / – М.: Л.: ГИТТЛ, 1951.
Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 203с. – 205 с.
Антоневич А. Б., Задачи и упражнения по функциональному анализу. / А. Б. Антоневич, П. Н. Князев, Я. В. Радыно. Выш. шк . , Минск. – 1978.
Башмаков М. И., Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1993. – 351 с.
Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. / А.Ф Бермант, И. Г. Араманович. – 14-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 736 с.: ил.
Данилов В.Л., Математический анализ, Функции, Пределы, Ряды, Цепные дроби / В.Л. Данилов, А.Н. Иванова, Е.К. Исакова, 1961. – 634 с.
Дуран А. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых / Дуран А. // Мир математики. — №14. — М.: Де Агостини, 2014.
Егерев В. К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В. К¸ Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. – 6-е изд. – М. : ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство «ОНИКС-ЛИТ», 2013. – 608 с.
Ильин В. А. Математический анализ. Начальный курс / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Под редакцией А. Н. Тихонова. – 2-е изд., перераб. – М.: Изд-во МГУ, 1985. – 662 с.
Ильин. В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть I : Учеб.: Для вузов. – 6-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 648 с. – 100 –146-155 с.
Казимиров Н. И., Конспект лекций для первого курса специальности «физика». Математический анализ / Н. И. Казимиров – Петрозаводск, 2002 г.
Кудрявцев Л. Д. Сборник задач по математическому анализу / Л. Д. Кудрявцев и др. – Т. 1. – 2-е изд., перераб. – М.: Физматлит, 2003. – 496 с.
Макарычев, Ю. Н. Алгебра. 9 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики / Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2007.
Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988.
Нахин П.Дж. Оливер Хевисайд / П.Дж. Нахин // В мире науки. –1990. – № 8. –13 c .
Никольский С. М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Никольский С. М. и др. – 8-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 464 с.
Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. 1. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 464 с.
Петерсон Л. Г. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 7 класса. Часть 3 / Л. Г. Петерсон, Д. Л Абранов, Е. В. Чуткова. – М: Издательство «Ювента», 2011. – 216 с.
Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика. Профильный уровень [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/ (дата обращения 14.03.2018 г).
Решу ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://oge.sdamgia.ru/ (дата обращения 14.03.2018 г).
Старова О.А. Кусочно-заданные функции / О. А. Старова // Грани математики. Все для учителя! – 2015. – № 3(51). – С. 26-28.
Шевелева Н. В. Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс / Н. В. Шевелева, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин. – М.: Национальное образование, 2011. – 144 с.: ил. – (Краткий курс).
Шипачев В. С. Высшая математика. Учеб. для вузов – 4-е изд. стер. – М.: Высш. школа. 1998. – 479 с.: ил.
Экономико — математический словарь: Словарь современной экономической науки . – М . : Дело . Л . И . Лопатников . 2003 .
Основные определения понятия «функция»
Определения
Пусть даны два множества действительных чисел: множество и множество
Если каждому элементу множества E поставлен в соответствие единственный элемент множества M , то говорят, что на множестве E определена функция действительного переменного x и пишут .
называют независимой переменной или аргументом, а y называют зависимой переменной или функцией. Множество E называют областью определения функции, а множество множеством значений функции.
Лихтарников Л. М. Основы математического анализа. Книга для учителей математики старших классов средних школ. / Л. М. Лихтарников, А. И. Поволоцкий. – СПб.: Издательство Лань, 1997. – 304 с.
Величина y называется функцией переменной величины х в области определения D , если каждому значению x из этой области соответствует одно определенное значение величины y .
Бермант А.Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. 14-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 736 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).
Если каждому значению переменной x из множества < x >ставится в соответствие по известному закону некоторое число y , то говорят, что на множестве < x >задана функция = или
При этом переменная x называется аргументом, а множество < x >– областью задания функции
Ильин. В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть I : Учеб.: Для вузов. – 6-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 648 с. – (Курс высшей математики и математической физики). – 100 -146 с.
Функция , в математике – одно из основных понятий , выражение , определяющее регулярную зависимость между двумя множествами переменных величин , заключающуюся в том , что каждому элементу одного множества соответствует определенная , единственная величина из другого .
Научно — технический энциклопедический словарь .
1 ) Зависимая переменная величина ;
2) Соответствие между переменными величинами , в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины ( аргумента или независимой переменной ) соответствует определенное значение другой величины ( зависимой переменной или Ф . в значении.
Экономико — математический словарь: Словарь современной экономической науки . — М . : Дело . Л . И . Лопатников . 2003
Функция – это в заимосвязь между двумя и более переменными . Если у является функцией от х и записывается в виде то , если значение аргумента х известно , функция позволяет показывает , как найти значение у . Если у – однозначная функция от х , то для каждого значения х существует только одно значение у .
«Зависимость переменной y от переменной х называется функцией, если каждому значению переменной х соответствует единственная переменная у.»
АЛГЕБРА-7 (С.А. Теляковский)
«Переменную y называют функцией переменной х, если каждому значению х из некоторого числового множества соответствует одно определенное значение у».
МАТЕМАТИКА – 8 (Г.В. Дорофеев)
«Если дано числовое множество и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция где .
АЛГЕБРА – 9 (А.Г. Мордкович).
Способы задания функций