Типовые задачи курса тау
Использования пакета MATHCAD иллюстрирует решение типовых задач первой части курса ТАУ, посвященной линейным САУ. Ниже рассматривается построение годографов характеристического уравнения и АФЧХ, графиков амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), фазо-частотных характеристик (ФЧХ), логарифмических АЧХ и ФЧХ, решение задач устойчивости по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста, а также построение переходного процесса.
Построение годографа афчх.
Построение годографа АФЧХ и АЧХ графиков вещественной и мнимой частотных характеристик включает следующие этапы:
-формирование параметров анализируемой передаточной функции:
-формирование выражения анализируемой передаточной функции:
-формирование линейного частотного диапазона:
-построение графика вещественной частотной характеристики:
-построение графика мнимой частотной характеристики:
-корректировка частотного диапазона для более точного построения годографа АФЧХ:
— построение графика годографа АФЧХ:
Текст соответствующего MATHCAD файла приведен в приложении 1.
Построение логарифмических афчх.
Построим логарифмические АЧХ и ФЧХ для примера, используемого в разделе 2.1.
Основной проблемой при построении логарифмических АЧХ и ФЧХ является задание декадно-логарифмического частотного диапазона, например: 1,2,3,…,9,10,20,30,…,90,100,200,…
Эта проблема решается следующим образом.
Задаются параметры частотного ряда:
w0:= 0.01 – начальная частота ряда;
n:= 4 – количество декад;
j:=1…9 – ряд частотного поддиапазона (декады);
Выражение для декадно-логарифмического частотного диапазона приводится ниже:
В результате вычислений формируется следующий частотный ряд:
Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической амплитудно-частотной характеристики:
В данном случае p является формальным параметром выражения.
Строится график логарифмической АЧХ:
Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической фазо-частотной характеристики:
и непосредственно строится график логарифмической ФЧХ:
Следует отметить наличие разрыва графика при достижении абсциссой величины
–π / 2, что обусловлено областью определения арктангенса [–π / 2, π / 2].
Для построения непрерывного графика логарифмической ФЧХ необходимо сместить разрыв на – π, применяя функцию arg, тогда выражение примет вид:
Текст MATHCAD файла, реализующего построение логарифмических АЧХ и ФЧХ приведен в приложении 2.
Построение годографа характеристического уравнения.
В качестве примера рассмотрим характеристическое уравнение, заданное следующим выражением:
Для частотного диапазона w:=0,0.01…7 построим годограф характеристического уравнения:
Текст MATHCAD файла, реализующего построение годографа характеристического уравнения, приведен в приложении 3.
Критерий устойчивости ГУРВИЦА.
Использование MATHCAD при определении устойчивости САУ по критерию ГУРВИЦА требует знания команд формирования и редактирования матриц.
Рассмотрим процедуру использования MATHCAD при анализе следующего характеристического уравнения:
Для формирования шаблона определителя ГУРВИЦА сформируем матрицу, нажав клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует определения количества столбцов и строк. Задав размер матрицы: 6 6, получим следующий шаблон определителя ГУРВИЦА:
Полученный шаблон матрицы ГУРВИЦА заполняется согласно известному правилу [1-5] следующим образом:
Далее согласно правилу [1-5], необходимо вычислить все главные миноры определителя ГУРВИЦА. Для удобства и простоты общения с MATHCAD, вычислим все миноры, начиная со старшего.
Для вычисления определителя матрицы delta_6 необходимо сформировать символ определителя, нажав клавишу [ | ], и заполнить его именем матрицы delta_6. Получим следующий результат:
Для вычисления следующего минора delta_5 необходимо скопировать матрицу delta_6 ниже, используя клавиши [F2], [F4], и изменить имя минора на delta_5.
Чтобы удалить лишние в этом случае нижнюю строку и правый столбец, необходимо маркер подвести к нижнему правому элементу 1000 и нажать клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует пояснения для удаления (что будет означать знак -) или дополнения (знак +) текущей матрицы. Необходимо набрать -1 -1 и будет удалена нижняя строка и правый столбец. Выражение примет следующий вид:
Вычислим минор delta_5 приведенным ниже образом:
Аналогично составляются и вычисляются остальные миноры определителя ГУРВИЦА:
После анализа знаков и величин всех диагональных миноров принимается заключение об устойчивости САУ [1-5].
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Гурвица, приведен в приложении 4.
Критерий устойчивости Михайлова.
Использование пакета MATHCAD при решении задачи устойчивости САУ по критерию Михайлова заключается в построении годографа в комплексной плоскости [1-5]. Рассмотрим эту задачу на следующем примере, описанном в разделе 4.2.1.
Дано характеристическое уравнение САУ:
Пусть частотный диапазон для анализа:
Построим годограф Михайлова в комплексной плоскости:
Проанализируем поведение годографа Михайлова [1-5]:
-начинается на положительной вещественной полуоси;
-вращается против часовой стрелки относительно начала координат;
-последовательно обходит 5 квадрантов.
Следовательно анализируемая САУ устойчива.
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Михайлова, приведен в приложении 5.
Критерий устойчивости Найквиста.
Задача определения устойчивости замкнутой САУ базируется на анализе поведения годографа АФЧХ в комплексной плоскости.
Исследуем устойчивость замкнутой САУ, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет следующее выражение:
Пусть частотный диапазон анализа:
Строим годограф АФЧХ разомкнутой САУ в комплексной плоскости:
Анализ поведения годографа АФЧХ показывает, что замкнутая САУ устойчивая, т.к. при отсутствии положительных вещественных корней АФЧХ разомкнутой САУ не охватывает точку с координатами (-1,-j0).
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Найквиста, приведен в приложении 6.
Выделение областей устойчивости в плоскости одного
Задание: Определить допустимые вариации параметра К для системы, заданной следующей структурной схемой.
Зададим выражения передаточных функций:
Определим выражение комплексного коэффициента усиления К интегрирующего звена в цепи отрицательной обратной связи в следующем виде:
Построим фигуративную линию комплексного коэффициента усиления при
Определим точку пересечения фигуративной линии с вещественной положительной осью путем использования функций нахождения корней следующим образом:
Переменная первого приближения решения:
Результат получен с точностью до третьего знака, что задано конфигурацией MATHCAD.
Дальнейшая штриховка фигуративной линии и выделение областей устойчивости выполняется согласно известным правилам [1-5].
Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ в плоскости одного варьируемого параметра 7.
Построение кривой переходного процесса.
Решение задачи построения кривой переходного процесса основывается на известной взаимосвязи вещественной частотной характеристики и переходного процесса.
Построим график кривой переходного процесса для следующей передаточной функции простейшего колебательного звена:
Проанализируем график вещественной частотной характеристики для частотного диапазона w:=0..100
Анализ показывает, что вещественная частотная характеристика постоянно имеет значения очень близкие к 0, начиная с частоты 30 рад/сек. Следовательно ограничимся рассмотрением именно этого частотного диапазона для построения кривой переходного процесса.
Итак, частотный диапазон w:=0..30.
Найдем значение вещественной части на нулевой частоте так как эта величина есть значение переходного процесса в установившемся режиме.
Построим график вещественной части характеристики для последнего частотного диапазона:
Опишем известную [1-5] взаимосвязь вещественной частотной характеристики и кривой переходного процесса:
Зададим временной диапазон анализа:
Последним этапом является непосредственное построение кривой переходного процесса
Полный текст MATHCAD файла, реализующего построение кривой переходного процесса САУ, приведен в приложении 8.
Определить устойчивость САУ по известному характеристическому уравнению:
Построение годографа в Mathcad
Пытаюсь построить в Маткаде годограф.
Выдает то, что выдает.
В идеале годограф должен представлять собой овал.
Как исправлить? В чем ошибка?
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Построение АФЧХ (годографа Найквиста, диаграммы Найквиста) в MathCad
Приветствую всех. Столкнулся с такой проблемой — нужно построить АФЧХ по известной частотой.
Чертеж годографа в Mathcad 15
Ребята! Помогите, пожалуйста, я новичок в MathCad. Нужно построить чертеж годографа, но что-то я.
Как построить графики АЧХ, ФЧХ и годографа в Mathcad
Здравствуйте! нужна помощь ! помогите построить графики АЧХ, ФЧХ и годографа.. Добавлено через 7.
Построение графика годографа
Форумчане здравствуйте. как построить сей график ? и что означает сообщение "здесь.
Регистрация: 02.12.2013
Сообщений: 2
Отбой. Проблема решена.
Причина в кривом мне (степень у емкости С -9, а не 9) и в специфичной регулировке масштабов 14 Маткада.
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Построение графиков в MathCAD
Доброе всем. Будьте добры, помогите нарисовать графики. никак не могу понять как и что.
Построение графика MathCad
Пытаюсь построить простейший график, по таблице, а получается какая-то ерунда: Парабола же должна.
[MathCAD] Построение графика..
Нужно построить график представленный ниже..
Построение графика Mathcad
Доброго времени суток форумчане. Помогите построить графики к 3 функциям, для третьей функции.
Или воспользуйтесь поиском по форуму:
Как построить годограф
Построение годографов Михайлова является важным инструментом для решения задач на устойчивость систем автоматического управления. Критерий устойчивости Михайлова является обязательным условием для функциональности промышленных роботов и манипуляторов.
Инструкция по построению годографов Михайлова с использованием «Mathcad»
Шаг 1: Имея набор данных комплексной частотной функции, переходим к построению годографа с использованием математического пакета «MathCad». Выделяем вещественную и мнимую части и подставляем численные значения в полученную комплексную частотную функцию.
Шаг 2: В верхнем меню выбираем опции: «Новый…» — «Пустой документ». Здесь мы будем формировать программу для построения годографа Михайлова.
Шаг 3: Задаем разрешение годографа диапазоном чисел индекса i.
Шаг 4: Определяем исследуемый диапазон и обозначаем шаг частоты. Выполняем действия в зависимости от значения индекса i. Обычно наибольшее значение частоты не превышает 1000.
Шаг 5: Задаем численные значения вещественной и мнимой частей исходного характеристического уравнения, которые мы предварительно вычислили.
Шаг 6: В результате вычислений получаем массивы значений частоты, а также данные вещественной и мнимой частей.
Шаг 7: Теперь, имея полученные массивы значений, начинаем построение годографа Михайлова в пакете «MathCad». Выбираем встроенную функцию «Инструменты графиков» и затем опцию «Декартов график». Здесь обязательно определяем идентификаторы осей. Ось абсцисс соответствует вещественной части, а ось ординат — мнимой части.
Шаг 8: В подменю «Формат…» вносим параметры графика. В результате получаем годограф комплексной частотной функции.
Шаг 9: Используем функцию «Трассировка…», чтобы определить точные значения годографа, выбирая любую точку в рассчитанных массивах.
Таким образом, построение годографов Михайлова при помощи программного пакета «Mathcad» предоставляет простой и наглядный инструмент для решения задач на устойчивость систем автоматического управления. Этот метод является важной характеристикой для функциональности промышленных роботов и манипуляторов.
Как построить годограф
Построение годографов Михайлова при помощи программного пакета «Mathcad» необходимо для того, чтобы получить простой и наглядный инструмент для решения задач на устойчивость систем автоматического управления. Критерий устойчивости Михайлова – характеристика, являющаяся обязательным условием для функциональности любого промышленного робота или манипулятора.
Статьи по теме:
- Как построить годограф
- Как построить изокванту
- Как построить полигон частот
Инструкция
Имея набор данных комплексной частотной функции, переходите непосредственно к построению годографа с использованием математического пакета «MathCad». Выделите вещественную и мнимую части. Подставьте численные значения в полученную комплексную частотную функцию.
В верхнем меню выберите опции: «Новый…» – «Пустой документ». Именно здесь вы будете формировать программу для построения годографа Михайлова.
Задайте разрешение годографа диапазоном чисел индекса i.
Определите исследуемый диапазон, обозначьте шаг частоты. Выполняйте действия, исходя из значения индекса i. Как правило, в практических расчётах, наибольшее значение частоты не превышает числа 1000.
Задайте численными значениями вещественную и мнимую части исходного характеристического уравнения, которые вы вычислили предварительно.
В результате вычислений, получатся массивы значений частоты, а также данные вещественной и мнимой частей.
Теперь, имея полученные массивы значений, начинайте построение годографа Михайлова. Выберите в пакете «MathCad» встроенную функцию «Инструменты графиков». Потом нажмите опцию «Декартов график». Здесь обязательно определите идентификаторы осей. Соответствует ось абсцисс вещественной части? Отвечает ось ординат мнимой части или нет?
В подменю «Формат…» внесите параметры графика. В результате вы получите годограф комплексной частотной функции.
Используйте функцию «Трассировка…» Так вы определите в соответствующем трассировке окне, абсолютно точные значения годографа, выбирая любую точку в рассчитанных массивах.